逆序数与行列式.png
一、练习答案
这是一个范德蒙行列式，两种求法，求法不同，答案一致。一是按照范德蒙行列式的结果，从第二行入手，二是展开，这里最后一列展开， 的余子式是即 的系数是。两种求法联系起来，即求出范德蒙结果，并从中找出 的系数即可求出答案。
展开法（只写出一项展开）：
范德蒙求法：
将含有放前面
所以 的系数：
所以
二、知识点
1、全排列
n个不同的元素排成一列，称为n个元素的全排列。
如：12345678，76532184，等等均为8个元素的全排列。
n个元素的全排列共有n！个。
2、逆序与逆序数
全排列123···n称为标准排列，此时元素之间的顺序称为标准顺序。在任一排列中，若某两个元素的顺序与标准顺序不同，就称这两个元素构成了一个逆序。
例：213中，2和1构成一个逆序。321中，1和2,1和3,2和3都构成逆序。
在一个排列中，逆序的总和称为逆序数。如213的逆序数为1，321的逆序数为3。
逆序数怎样求？？？
从第一个元素起，该元素前有几个数比它大，这个元素的逆序就是几。将所有元素的逆序相加，即得到排列的逆序数。
排列： 321
逆序数：0+1+2=3
例：求全排列135…（2n-1）24…（2n）逆序数。
解：1，3，5，···（2n-1）不构成逆序.
2前面有n-1个数比它大，故有n-1个逆序.
4前面有n-2个数比它大，故有n-2个逆序.
依次下去，2n前面没有数比它大，故没有逆序.
将所有元素的逆序相加，得逆序数：
1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）/2
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。如：
在3个元素的全排列中：
123，231，312为偶排列，逆序数分别为0，2，2.
132，213，321为奇排列，逆序数分别为1，1，3.
？：两个数对调，奇偶排列发生转化
？：奇偶排列各占一半
3、对换
在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素不变，即得到一个新排列，这样一种变换称为对换。
对换有两个性质：
1.任意一个排列经一次对换后改变奇偶性.
2.在n个元素的全排列中，奇偶排列各占一半，为n!/2.
(当n>=2时，n!一定为偶数)
性质1的证明：
对换有两种,一种相邻，一种不相邻.
相邻对换
---ab---
---ba---
若a比b大，对换后则逆序数减少一个，其余不变，所以全排列就会奇变偶，或偶变奇。若a比b小，对换后则逆序数增加一个，其余不变，所以全排列就会奇变偶，或偶变奇。
不相邻对换，假设中间隔着L个元素
---a---b---
---b---a---
a与后面的一个个对换，对换到b后面，因为还要和b对换，所以需对换L+1次，a对换结束后，b再一个一个对换到前面，需要对换L次。所以总共对换2L+1次，相邻对换一次，奇偶变一次，2L会抵消对换，1才起作用，所以变一次，即奇变偶，或偶变奇。
2L为什么会抵消变化？
两种形式，奇排列和偶排列，变一次即奇变偶或偶变奇，性质发生变化，变两次即奇变偶，偶再变奇，性质不变，所以偶数次变化会抵消变化，性质不变，奇数次变化会改变性质，2L为偶数。
性质2的证明：
假设n个元素的全排列中，有p个奇排列，有q个偶排列。把p个奇排列变化一次，变为偶排列，此时变化得到的偶排列还是属于全排列中的，所以得出p<=q，同理可证q<=p，结合两者得p=q，所以在全排列中奇偶排列各占一半。
4、行列式的定义
这六项下标的第二个数是123的全排列，第一个数保持123不变，而正负号为逆序数的奇偶决定。
由三阶行列式可得如下结论
(1) 为的逆序数。
(2)
即对1,2,3的全排列求和。
个数排成的一个行列的记号
其中为全排列的逆序数。有时简记为
4.1应用行列式新定义做题
例1：
例2：
例3.
附：